それでは実際に，N対間相互作用について考えていきましょう．
今回も，Vicky Choi (2008)[1]Vicky Choi. Minor-embedding in adiabatic quantum computation: I. the parameter setting problem. Quantum Information Processing, Vol. 7, No. 5, pp. 193–209, 2008.による論文の図を拡張して説明していきます．
N対間相互作用のためのノード複製
3対間相互作用の場合には，ノード③を2つ追加して，上図のように4ノードで表現することができました．
さらに，ノード④を接続する事を考えます．
一番簡単な方法は，ノード④を必要な分複製し，単純にノード①，②，③のそれぞれに接続すれば良さそうです．
4対間相互作用の場合には，ノード④を3つ追加して，上図のように7ノードで表現することができました．
この辺りから規則性が見えてきましたね！
N対間相互作用に必要なノード数
\(i\) 対間相互作用を実現するために必要なノード数を \(n_i\) 個とします．
\(i+1\) 対間相互作用は， \(i\) 個の既存ノードに新たな接続を設ければ良いので，新たに \(i\) 個の新規ノードが必要となります．
つまり，次の関係式が導けます．
$$n_1=1\tag{1}$$
$$n_{i+1}=n_i+1\tag{2}$$
さらに，式(1)と式(2)を数列漸化式として解くと，式(3)が得られます．途中過程は省略しますが，階差形の漸化式として解くことができます．
$$n_i=n_1+\sum_{k=1}^{n-1}i=1+\frac{(i-1)i}{2}\tag{3}$$
D-Wave 2000Qの限界
式(3)により，イジングモデルでN対間相互作用を実現する際に必要なノード数がわかりました．
それでは，D-Wave 2000Qで，全結合相互作用をいくつ実現できるのか求めていきます．
D-Wave 2000Qは，最大2048量子ビットを利用可能ですので，\(n_i \leq 2048\)となります．
$$1+\frac{(i-1)i}{2} \leq 2048$$
$$i^2-i-4094 \leq 0$$
$$i < \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{16377}}{2}=64.486… (0<i)$$
したがって，2048量子ビットで実現できるN対間相互作用は64ビットが最大ということになります．
My favorite food is Sushi and Yakiniku.
References
| ↑1 | Vicky Choi. Minor-embedding in adiabatic quantum computation: I. the parameter setting problem. Quantum Information Processing, Vol. 7, No. 5, pp. 193–209, 2008. |
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